Simulink学习电力系统应用——基础篇（一）
因学习研究的目的，接触了《Matlab/Simulink电力系统建模与仿真》这本书籍，并写下推文帮助自己学习深化，有兴趣深入学习Simulink在电力系统应用的同学可以自行采购，大家一起共同学习讨论。在正式学习之前，我们得先弄清楚Simulink到底是解决什么问题的。
一、Simulink用途
总的来说，Simulink常被用于求解常微分方程、传递函数和状态方程解。具体而言，在分析电力系统的动态特性时，常微分方程可以描述系统中各种物理量随时间的变化关系；传递函数则能反映系统输入与输出之间的关系，帮助我们了解系统的性能；状态方程解可以让我们清晰地掌握系统在不同时刻的状态。通过Simulink，我们能够更高效、准确地得到这些方程的解，从而为电力系统的设计、分析和优化提供有力支持。
二、基于Simulink的数值计算方法
Simulink在求解上述问题时，采用了多种数值计算方法。基于泰勒级数理论，主要分为欧拉法（Euler）、阿达姆斯法（Ad-ams）、龙格-库塔法（Rung-Kutta）。这些方法各有特点和适用场景，在后续的学习中，我们会根据具体的问题选择合适的方法。了解这些数值计算方法的原理和应用，对于我们深入掌握Simulink在电力系统中的应用是非常关键的一步。它们就像是我们手中的工具，只有熟练掌握，才能在面对各种复杂的电力系统问题时游刃有余。
2.1 欧拉法原理
欧拉法（Euler）是一种通过矩形面积近似积分计算的方法。虽然它简单易懂，但精度不高，目前在实际应用中很少使用，其具体原理如下：
假设函数y=f(x)，要计算从x=a到x=b这个区间内函数曲线下的面积，把从a到b的这个大区间，划分成许多宽度相等的小区间，每个小区间的宽度记为Δx。（小区间越多，也就是Δx越小，那么我们用矩形面积近似积分的效果就越好。这是因为当小区间足够小时，矩形的形状就更接近函数曲线下的真实形状，近似值也就更接近真实的积分值。
接着，对于每个小区间，我们以小区间的左端点的函数值作为矩形的高度，小区间宽度Δx作为矩形的宽度，这样就构造出了一个个矩形。例如在第i个小区间，左端点是xi，对应的函数值是f(xi)，那么这个矩形的面积就是f(xi)Δx。最后，我们把所有这些小矩形的面积加起来，就得到了对积分的近似值。虽然这种方法直观简单，但由于它只是用矩形去近似曲线下的面积，忽略了曲线的弯曲变化，所以在精度要求较高的情况下，就不太适用了。不过，欧拉法作为一种基础的数值计算方法，对于我们理解积分近似计算的基本思想还是很有帮助的。
2.2 阿达姆斯法原理
根据插值多项式的节点是否包含待求点tn+1，阿达姆斯法分为显式阿达姆斯-巴什福思法（Adams-Bashforth，AB法）和隐式阿达姆斯-莫尔顿法（Adams-Moulton，AM法）。这二者是阿达姆斯法的基础，它们的性能互补。（显式阿达姆斯-巴什福思法是一种显式的方法，它可以直接根据已知的节点信息计算出下一步的近似值，计算相对简单，但精度可能稍低。而隐式阿达姆斯-莫尔顿法需要通过迭代求解，计算过程相对复杂，但精度较高。在实际应用中，我们可以根据具体的问题和对精度、效率的要求，选择合适的方法。）
2.3 龙格 - 库塔法原理
龙格-库塔法（Rung-Kutta）通过泰勒级数展开式的方法，在积分区间内多预报几个点的斜率，然后进行加权平均，近似替代微分方程的真实斜率，避免了高阶泰勒展开法中复杂的高阶偏导数计算。对于m阶龙格-库塔法，在区间[tn,tn+1]内取m个采样点，其通用求解公式为：
其中，各斜率ki的计算规则为：
其具体的计算过程分为几个步骤：
1）第一步估算。我们首先计算从当前位置开始，基于当前的斜率，预测下一个位置的变化。这就像是我们根据当前的行驶速度和方向，大致估算下一个时刻的位置。
2）第二步修正。然后我们不止一次估算未来的位置，而是根据第一步的估算，计算一个新的斜率，基于新的斜率再做一次预测。这一步相当于对第一步的估算进行修正，考虑到函数可能的变化。
3）第三步再修正。接着我们再计算出第二步的估算结果的变化，再进行一次调整。
最后，通过综合这些中间估算结果，我们得到一个更精确的未来位置。这个过程实际上就是通过更多的计算步骤来提高预测的准确度，在处理复杂的微分方程问题时，龙格-库塔法具有明显的优势。
三、常微分方程求解算法分类
后续我们求解常微分方程（Ode）数值解时，就是基于上述三类基本方法展开，分为可变步长类算法和固定步长类算法。
可变步长算法就是在结算模型时可以自动调整步长，并通过减少步长来提高计算精度。这种算法的优点是能够根据问题的复杂程度和精度要求，自动调整计算步长。当问题比较复杂，需要更高的精度时，它会自动减小步长，以获得更准确的结果；而当问题相对简单时，它会增大步长，提高计算效率。这样可以在保证计算精度的同时，尽量减少计算量，提高计算的整体效率。
固定步长类算法则是保持步长不变。它在计算过程中，始终使用相同的步长进行计算。这种算法的优点是计算过程相对简单，易于实现。但它的缺点也很明显，由于步长固定，无法根据问题的实际情况进行调整，可能会在某些情况下导致计算精度不足或者计算效率低下。在实际应用中，我们需要根据具体的问题和要求，选择合适的算法。比如对于一些对精度要求不高、计算规模较小的问题，固定步长类算法可能是一个不错的选择；而对于精度要求较高、问题较为复杂的情况，可变步长类算法可能更合适。
四、可变步长与固定步长算法介绍
可变步长类算法中主要有Ode45和Ode23：
1）Ode45基于显式四/五阶Rung-Kutta算法，属于单步解法，计算出当前的解，不需要附加初始值。它在处理一般的常微分方程问题时表现良好，能够在保证一定精度的前提下，高效地计算出结果。
2）Ode23基于显式二/三阶Rung-Kutta算法，也属于单步解法，在计算略带刚性问题上有优势。（刚性问题是指对于一个常微分方程组，其雅可比矩阵的特征值相差悬殊，其方程组可以称为刚性方程组）为了保持解法的稳定性，步长选取存在困难。Ode23能够在处理这类刚性问题时，通过合理调整步长，保证计算的稳定性和精度。
固定步长类算法中主要有Ode5和Ode4。
1）Ode5是固定步长的Ode45算法，它继承了Ode45的一些优点，同时由于步长固定，计算过程更加简单。
2）Ode4是四阶的龙格-库塔法，它在计算精度和效率之间取得了一定的平衡。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题特点和要求，选择合适的算法。如果对计算精度要求较高，且问题不是刚性问题，Ode45可能是一个好的选择；如果是刚性问题，Ode23可能更合适；而对于一些对计算效率要求较高、精度要求相对较低的问题，Ode5和Ode4可能是不错的选择。
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